SYMETRIE!

SYMETRIE

PUNKTY SYMETRYCZNE WZGLĘDEM PROSTEJ

Na początek przypomnijmy sobie, jakie warunki spełniają punkty symetryczne względem prostej.

Jeżeli punkt A nie leży na prostej k, to punkt A' jest symetryczny do punktu A względem prostej k, gdy:
- punkty A i A' leżą po przeciwnych stronach prostej k
- odcinek AA'  jest prostopadły do prostej k
- odległość punktu A' od prostej k jest równa odległości punktu A od tej prostej
Jeżeli punkt leży na prostej k to jest symetryczny sam do siebie.

Aby znaleźć figurę symetryczną do wielokąta względem danej prostej, wystarczy najpierw znaleźć punkty symetryczne do wierzchołków wielokąta, a następnie odpowiednio te punkty ze sobą połączyć.

Na powyższym rysunku w ten właśnie sposób została narysowana figura symetryczna do trójkąta ABC względem prostej k.

PUNKTY SYMETRYCZNE WZGLĘDEM DANEGO PUNKTU

Punkt A' jest symetryczny do punktu A względem punktu S, jeżeli:
- punkt A' leży na półprostej AS
- odcinki AS i A'S mają jednakowe długości (punkt S jest środkiem odcinka AA')

Aby znaleźć figurę symetryczną do wielokąta względem danego punktu, wyznaczamy najpierw punkty symetryczne do wierzchołków wielokąta, a następnie odpowiednio je łączymy. 

Na powyższym rysunku w ten sposób narysowano trójkąt symetryczny  do trójkąta ABC względem punktu O.

PUNKTY SYMETRYCZNE WZGLĘDEM OSI UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH

 

OŚ SYMETRII

Jeżeli figura jest symetryczna sama do siebie względem pewnej prostej, to tę prostą nazywamy osią symetrii figury, a figurę nazywamy osiowosymetryczną.

ŚRODEK SYMETRII FIGURY

Jeżeli figura jest symetryczna sama do siebie względem pewnego punktu, to ten punkt nazywamy środkiem symetrii figury, a figurę nazywamy środkowosymetryczną (figura obrócona o 180 stopni ma taki sam wygląd jak przed obróceniem). 

Jutro kolejny wpis, miłego wieczoru. Pozdrawiamy. Wiki i Ola :)

OKRĘGI WPISANE I OPISANE !

Cześć, jak Wasze nastroje przed świętami? Dzisiaj dowiecie się lub utrwalicie sobie wiadomości dotyczące okręgów wpisanych w wielokąty i opisanych na wielokątach.

 

OKRĘGI WPISANE I OPISANE

Okrąg opisany na wielokącie to okrąg, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki tego wielokąta. Środek takiego okręgu jest punktem przecięcia się symetralnych boków wielokąta.

Okrąg wpisany w wielokąt to okrąg styczny do wszystkich boków tego wielokąta. Środek takiego okręgu jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wielokąta.

UWAGA!!! NIE W KAŻDY WIELOKĄT MOŻNA WPISAĆ OKRĄG. Okrąg można wpisać w wielokąt tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów przecinają się w jednym punkcie.

OKRĄG OPISANY NA KWADRACIE

OKRĄG WPISANY W KWADRAT

OKRĄG OPISANY NA TRÓJKĄCIE RÓWNOBOCZNYM

OKRĄG WPISANY W TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY

OKRĄG OPISANY NA TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM

Punkt, wyznaczający środek okręgu, dzieli przeciwprostokątną na dwie równe części, więc R obliczymy dzieląc długość przeciwprostokątnej przez dwa.

OKRĄG WPISANY W TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY

OKRĄG OPISANY NA SZEŚCIOKĄCIE FOREMNYM

OKRĄG WPISANY W SZEŚCIOKĄT FOREMNY

Niebawem egzaminy, a przed nami tak dużo nieomówionych treści... Musimy troszkę przyspieszyć, zapraszamy do oglądania. Przypominam także o naszych odcinkach, w których pokazujemy różne konstrukcje. Matematycznych snów, pozdrawiamy :)

TAK TO SIĘ KONSTRUUJE odc. 2

Kolejny odcinek, jak Wam się podoba?

TAK TO SIĘ KONSTRUUJE odc.1

Wiemy, że już dawno obiecałyśmy Wam ten odcinek... Niestety wstawiamy go dopiero teraz. Lubimy naukę na wesoło, co Wy na to? Już niebawem kolejny odcinek, zapraszamy do oglądania. Możecie również odwiedzać nasz kanał, pozdrawiamy :)

WIELOKĄTY :)

Obiecałyśmy kilka dni temu, że w kolejnym wpisie przypomnimy Wam wiadomości dotyczące wielokątów. Do tej pory zajmowałyśmy się czworokątami, czyli figurami, których suma wszystkich kątów wynosi 360 stopni. Każdy z nich posiadał cztery boki. Dzisiaj będziemy opisywać figury z większą ilością boków i kątów. Zapraszamy :)

WIELOKĄTY

Aby obliczyć obwód dowolnego wielokąta, dodajemy długości wszystkich jego boków.
Aby obliczyć pole dowolnego wielokąta, dzielimy go na mniejsze figury geometryczne (trójkąty, trapezy, kwadraty, itp.), obliczamy ich pola i dodajemy.

P = suma pół pięciu trójkątów

Obw. = 8 + 5 + 4 + 5 + 7 + 3 + 6
(suma wszystkich boków)

PIĘCIOKĄT FOREMNY

PIĘCIOKĄT FOREMNY - wielokąt o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równej miary. Posiada pięć przekątnych. Składa się z pięciu trójkątów równoramiennych.

Obw. = 5a

P = suma pól pięciu trójkątów równoramiennych

SZEŚCIOKĄT FOREMNY

SZEŚCIOKĄT FOREMNY - wielokąt o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równej miary. Posiada sześć przekątnych. Składa się z sześciu trójkątów równobocznych.

Obw. = 6a

UWAGA!!! WIELOKĄT FOREMNY - to wielokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty jednakowej miary.

DODATKOWE WZORY DOTYCZĄCE WIELOKĄTÓW

WZÓR NA OBLICZENIE LICZBY WSZYSTKICH PRZEKĄTNYCH W WIELOKĄCIE

n - liczba wszystkich boków

WZÓR NA OBLICZENIE SUMY MIAR KĄTÓW WEWNĘTRZNYCH W WIELOKĄCIE

n - liczba wszystkich boków

WZÓR NA OBLICZENIE MIARY KĄTA WEWNĘTRZNEGO WIELOKĄTA FOREMNEGO

n - ilość wszystkich boków

Na tym kończymy ten wpis. Niebawem ukaże się kolejny, serdecznie zapraszamy do oglądania i pozdrawiamy odwiedzających. Wiki i Ola :)

FIGURY GEOMETRYCZNE (ZAKOŃCZENIE)

Witamy Was serdecznie. Już kolejny raz :) Cieszymy się, że możemy dla Was pisać, nawet nie wiecie jak dużą przyjemność sprawia nam kolejna osoba, która odwiedziła naszego bloga. To dodaje nam zapału do pracy. Dzisiaj kolejny wpis dotyczący figur geometrycznych. :)

TRAPEZ

TRAPEZ - to czworokąt, którego dwa przeciwległe boki są równoległe. Wyróżniamy trzy rodzaje trapezów:

- TRAPEZY PROSTOKĄTNE posiadają co najmniej dwa kąty proste. Wysokością w trapezach prostokątnych jest bok prostopadły do podstawy. Przekątne tych trapezów są różnej długości i nie przecinają się w połowie.

- TRAPEZY RÓWNORAMIENNE posiadają ramiona równej długości (w przeciwieństwie do podstaw - podstawy są różnej długości). Przekątne w trapezach równoramiennych są równej długości, ale nie przecinają się w połowie. Kąty przy podstawie są równej długości.

WZÓR NA PRZEKĄTNĄ TRAPEZU RÓWNORAMIENNEGO

                                                   c - ramię        a, b - podstawy trapezu

- TRAPEZY RÓŻNORAMIENNE mają wszystkie ramiona różnej długości oraz dwa kąty rozwarte i dwa kąty ostre.

POLE I OBWÓD TRAPEZU

DELTOID

DELTOID - to czworokąt, który ma dwie pary boków równej długości. Przekątne deltoidu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. 

POLE I OBWÓD DELTOIDU

e, f - przekątne deltoidu

Obw. = 2a + 2b

a, b - ramiona deltoidu

TRAPEZOID

TRAPEZOID - nie ma żadnych szczególnych właściwości. Jego pole obliczamy sumując pola trójkątów, na które go dzielimy. Obwód trapezoidu oblicza się tak jak pole każdego innego czworokąta (sumując długość wszystkich boków).

Aby obliczyć obwód dowolnego czworokąta dodajemy długości jego czterech boków.

Aby obliczyć pole dowolnego czworokąta dzielimy go na mniejsze figury geometryczne (kwadraty, trapezy, trójkąty, itp.), obliczamy ich pola i dodajemy.

PODOBIEŃSTWO FIGUR

FIGURY PODOBNE - to figury, które mają taki sam kształt, a różnią się najwyżej wielkością. Odpowiednie kąty tych figur muszą być równe.

 

Gdy figury f i f' są podobne to stosunek długości dowolnego odcinka w figurze f' do odpowiadającego mu odcinka w figurze f jest zawsze taki sam. 

k - stosunek boków figury f' do boków figury f, nazywany także skalą podobieństwa 

POLA FIGUR PODOBNYCH

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Inaczej mówiąc, jeśli figura P' jest podobna do figury P w skali k, to zachodzi równość:

PROSTOKĄTY PODOBNE

CECHA PODOBIEŃSTWA PROSTOKĄTÓW - Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie to te dwa prostokąty są podobne.

TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE PODOBNE

CECHA PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH - Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeśli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójką jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta. 

KOLEJNA CECHA PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH - Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie. 

CZWOROKĄTY SKOŃCZONE!!! W kolejnym wpisie przypomnimy Wam wiadomości o pięciokątach i sześciokątach. Serdecznie pozdrawiamy. Wiki i Ola :)

ROMBY I RÓWNOLEGŁOBOKI

Dzisiaj krótko, bo napiszemy tylko o równoległobokach. Chcemy już zakończyć geometrię i przejść dalej, aby zrealizować większą część materiału przed egzaminem gimnazjalnym, a pozostało nam jeszcze sporo wiadomości... Więc zaczynajmy :)

RÓWNOLEGŁOBOK

RÓWNOLEGŁOBOK - to czworokąt, którego przeciwległe boki i kąty są równoległe (przystające). Przekątne równoległoboku są różnej długości i przecinają się w połowie.

POLE I OBWÓD RÓWNOLEGŁOBOKU

P = ah

Obw. = 2a + 2b

ROMB

ROMB - to taki równoległobok, który ma wszystkie boki równe. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, ale nie są równej długości.

POLE I OBWÓD ROMBU

P = ah

Obw. = 4a

FIGURY GEOMETRYCZNE - NASI PRZYJACIELE

Na wstępie chciałybyśmy przeprosić, że nie odzywałyśmy się przez tak długi okres czasu. Koniec roku i egzaminy zbliżają się wielkimi krokami, więc mamy mnóstwo dodatkowych zajęć i nauki. Nie będziemy przedłużać, ponieważ mamy dzisiaj wiele do przekazania. Zabieramy się do pracy. :)

TRÓJKĄTY

TRÓJKĄT - jest wielokątem o najmniejszej licznie boków. Trójkąt nie ma przekątnych. Suma miar jego kątów wewnętrznych wynosi 180 stopni.

Aby trójkąt powstał suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta jest większa od długości trzeciego boku.
a + b > c
b + c > a

a + c > b

RODZAJE TRÓJKĄTÓW

- OSTROKĄTNY RÓWNOBOCZNY ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równej miary (każdy z nich ma 60 stopni).

- OSTROKĄTNY RÓWNORAMIENNY ma dwa boki równej długości, zwane ramionami i trzeci - podstawą. Kąty przy podstawie są równej miary.
- PROSTOKĄTNY RÓWNORAMIENNY ma dwa ramiona, zwane prostokątnymi (leżą przy kącie prostym) oraz trzeci bok - przeciwprostokątną (przeciwprostokątna to najdłuższy bok w trójkącie prostokątnym, leży naprzeciw kąta prostego). Dwa kąty mają mirę 45 stopni każdy, a trzeci kąt jest kątem prostym.
- ROZWARTOKĄTNY RÓWNORAMIENNY ma jeden kąt rozwarty i dwa kąty ostre.

- OSTROKĄTNY RÓŻNOBOCZNY ma wszystkie kąty ostre, a każdy bok jest różnej długości.

- PROSTOKĄTNY RÓŻNOBOCZNY ma jeden kąt prosty i dwa kąty ostre, których suma wynosi 90 stopni.

- ROZWARTOKĄTNY RÓŻNOBOCZNY ma jeden kąt rozwarty i dwa kąty ostre.

WYSOKOŚCI W TRÓJKĄCIE

 

W trójkącie ostrokątnym wysokości leżą wewnątrz trójkąta
W trójkącie prostokątnym dwie wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi, a trzecia leży wewnątrz trójkąta.
W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości leżą na zewnątrz, a trzecia - wewnątrz trójkąta.

OBWÓD I POLE TRÓJKĄTA

Obw. = a + b + c

WZÓR NA POLE I WYSOKOŚĆ W TRÓJKĄCIE RÓWNOBOCZNYM

PRZYSTAWANIE TRÓJKĄTÓW

Dwa trójkąty są przystające, jeżeli mają odpowiednie boki i kąty równe. Odcinki lub kąty pokrywające się nazywamy odcinkami lub kątami odpowiednimi.

TWIERDZENIE PITAGORASA

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości jego przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

CIEKAWOSTKA ! ! ! Twierdzenie Pitagorasa wykorzystujemy do zagadek i zabaw w puzzle.

TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA

Jeżeli w trójkącie długość jednego z boków jest równa sumie kwadratów długości boków pozostałych, to ten trójkąt jest prostokątny.

ZALEŻNOŚCI W TRÓJKĄTACH 

PROSTOKĄT

PROSTOKĄT - to czworokąt, którego wszystkie kąty są równe. Wszystkie pary boków przeciwległych są równe i równoległe, przekątne są tej samej długości i przecinają się w połowie.

 

POLE I OBWÓD PROSTOKĄTA

WZÓR NA PRZEKĄTNĄ PROSTOKĄTA

KWADRAT

KWADRAT - to prostokąt, który ma wszystkie boki równe. Przekątne kwadratu przecinają się pod w połowie, kątem prostym i są równej długości.

POLE I OBWÓD KWADRATU

WZÓR NA PRZEKĄTNĄ W KWADRACIE

Niestety... na tym kończymy dzisiejszy wpis. Już niebawem pojawi się kolejny :) Serdecznie Was pozdrawiamy i mamy nadzieję, że choć trochę pomogłyśmy Wam w przypomnieniu wiadomości. Wiki i Ola :)